理论力学笔记

拉格朗日力学

广义坐标

提到坐标,我们首先想到的可能就是x、y、平面坐标之类。广义坐标或许可以理解为描述一个系统的状态的东西。可以是很多东西。例如极坐标中就有角度作为坐标。

我们描述系统时,通常只用最少的坐标,以减少变量。例如我们研究平面内问题,就可以只用x,y,如果物体只在一条直线上运动,可以只用一个坐标。

例如这张图中,车子沿直线运动,杆长是恒定的,我们只需要车在水平方向的坐标和杆和竖直方向的夹角两个坐标。

x_1和x_2

我们称参量最少的个数为自由度,如上面这个系统就是两个

对于有s个自由度,我们需要s个变量

q_1,q_2,q_3,\cdots,q_s

称为广义坐标

但是坐标只能描述位置,我们还需要速度,才能描述一个系统的力学状态.速度也就是坐标对时间的一阶导数:广义速度

\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3}\cdots,\dot{q_s}

最小作用量原理

一个物体在在一段时间内从A运动到B, 作用量在时间上的积分最小.

这里作用量就是动能减势能,为什么我也不知道.也不知道为什么就必须最小,但事实就是这样.

在《朗道力学》中,作者没有直接说明“动能减势能”,似乎是“凑出”了作用量。我写写我的理解。

假设我们没有牛顿力学什么的。我们想要描述一个力学系统,需要用一些参数,就是上面的广义速度和广义坐标。我们用一个函数表示这个系统的运动。

\mathscr{L}(q_1,q_2,\cdots,q_n,\dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_n})

也就是拉格朗日函数.

作用量在时间上的积分最小,用数学描述,就是变分为0

S=\int^{t_1}_{t_2}\mathscr{L}dt\\ \delta\mathscr{L}=0

求解可以得到n个方程

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}},i=1,2,3,\cdots

称为拉格朗日方程,也就是系统的运动方程.

但是到现在我们也没有说L函数怎么表示,会感觉云里雾里,不懂这东西在干什么。接下来就要开始凑了.

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用latex有时候效率太低了,想画个草图描述一下也很麻烦 :c_shounuehuaji:

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用ps提取一下线稿 :c_shounuehuaji:

理力考完了


虽然很菜但感觉还是学了一点有趣的东西( 等有时间整理下


已经放假回家了,接下来会慢慢更新,总结下笔记

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关于最后这里如何用变分法得到此式子,请参考此贴

另外在这里再随便补几句吧,感觉有些词语,像什么各向同性、对称破缺,好高级的样子,让人一看就害怕,但实际了解了也就那样 :c_shounuehuaji:

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考完试了,我也有时间来继续填坑了。不过我可能只是写一个框架,加一点自己粗浅的理解。

朗格朗日函数

前面说到,我们用拉格朗日方程可以得到物体运动方程。但我们似乎从来没有提过拉格朗日方程究竟是怎样的。现在我们开始介绍拉格朗日函数。

拉格朗日函数应该是一种能描述物体运动状态的函数。对于一个自由粒子,因为空间是各向同性的,就是说粒子不管朝哪个方向运动,应该都是等效的,所以其运动方程与速度方向无关,而且空间的均匀性意味着运动方程与位置无关。所以必定含有速度矢量的平方项。即:

\mathscr{L}=\mathscr{L}(v^2)

确实有点扯。但朗道的书中大致就是这么写的。(其实仔细想想还是很有道理的。而且对于知道牛顿运动定律的我们来说,我们可以用牛顿去验证它,这种凑似乎变得很合理了)

于是我们有:

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}=0(即运动方程与位置无关)\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0\\ \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=f(\dot{q_i})=C(f为速度的函数且为常数)

因此我们可以得到空间中的自由粒子速度不变。这也就是所谓的惯性定律

现在我们考虑伽利略原理。做一个无穷小变换(我们之后还会看到很多无穷小变换),即在另一个惯性系中,

\vec{v}'=\vec{v}+\vec{\epsilon}(\vec{\epsilon}为无穷小速度)\\ \mathscr{L}'=\mathscr{L}'(v'^2)=\mathscr{L}(v^2+2\vec{v}\cdot\vec{\epsilon}+\epsilon^2)\\ 略去一阶以上无穷小量\epsilon^2,并做泰勒展开即有:\\ \mathscr{L}'=\mathscr{L}(v^2)+2\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial v^2}\vec{v}\cdot\vec{\epsilon}

一个粒子的运动方程在不同的惯性系中应当是等效的。即上式第二项要不影响最后得到的运动方程。即:

\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\vec{v}}\left(2\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial v^2}\vec{v}\cdot\vec{\epsilon}\right)=0\\ 也就是说:\\ \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial v^2}与\vec{v}无关,\mathscr{L}与v^2成正比\\ 即\mathscr{L}=kv^2,我们规定k=\frac{m}{2}.

最后的这个m就是质量。为什么要这么规定感觉就是为了让式子变成我们已经熟悉的动能。其实想一想质量也是人为规定的一种描述物体状态的量,我们可以规定一个物体的质量是1还是2,这里这样规定很合理。

这里写一些不同坐标系中自由粒子拉格朗日方程的表达式:

笛卡尔坐标系:\mathscr{L}=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)\\ 柱坐标系:\mathscr{L}=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)\\ 球坐标系:\mathscr{L}=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\phi}^2)

在一些系统中,我们要研究的物体还会受到场的作用,比如重力场,电场等,此时有:

\mathscr{L}=T-V,T为动能,V为势能。

总结起来,就是说,物体的动能减势能在物体运动过程中对时间的积分要取最小值。

其实我觉得这一堆凑的过程还不如直接告诉你最后结论,然后对你说“我验证过了,虽然不知道为什么,但这个奇怪的规律竟然是对的。”

接下来,我们要用前面提到的无穷小变换来得到一些东西。请看下帖:对称与守恒。

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